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Matrice de passage de b à b` exemple

Pour un vecteur $ {bf v} in V $, compte tenu de ses coordonnées $ [{bf v}] _ B $ en base $B $ nous aimerions pouvoir exprimer $ {bf v} $ dans les tems de ses coordonnées $ [{bf v}] _ {B`} $ en base $B` $, et inversement. La base standard dans $R ^ $2 est $ left{left [{1 atop 0} right], left [{0 atop 1} right] right} $. Dans l`exemple suivant, nous introduisons une troisième base pour examiner la relation entre deux bases non standard. Supposons que nous obtenons un nouveau système de coordonnées du système de coordonnées rectangulaires standard en tournant les axes dans le sens inverse des aiguilles d`une montre par un angle $ Theta $. La forme matricielle de changement de base $B` $ à $B $ est $ $ P = left [begin{Array}{CC} 3 &-2 1 & 1 end{Array}right]. Si vous êtes derrière un filtre Web, assurez-vous que les domaines *. Ramène-moi à la page du didacticiel. La matrice de changement de coordonnées de $B` $ à $B $ $ $ P = left [begin{Array}{CC} a & c B & d end{Array} right] $ $ régit le changement de coordonnées de $ {bf v} in V $ sous le changement de base de $B` $ à $B $. Nous nous concentrerons sur les vecteurs dans $R ^ $2, bien que tout cela généralise à $R ^ n $. Depuis $ $ P ^ {-1} = left [begin{Array}{CC} frac{1}{5} & frac{2}{5} -frac{1}{5} & frac{3}{5} end{Array}right], $ $ nous pouvons vérifier que $ $ [{bf v}] _ {B`} = left [begin{Array}{CC} frac{1}{5} & frac{2}{5} -frac{1}{5} & frac{3}{5} end{Array} droite] left [begin{Array}{c} 4 3 end{Array}right] = left [begin{Array}{c} 2 1 end{Array}right] $ $ qui est ce que nous avons commencé avec.

Si $S = {{bf V_1, V_2, ldots, V_n} } $ est une base pour $V $, ensuite, chaque vecteur $ {bf v} in V $ peut être exprimé de manière unique comme une combinaison linéaire de $ {bf V_1, V_2, ldots, V_n} $: $ $ {bf v} = C_1 {bf V_1} + C_2 {bf V_2} + cdots + C_n {bf V_n}. La nouvelle base $B` = left{{bf u`, v`} right} $ des vecteurs unitaires le long des axes $x` $-et $y` $, respectivement, a des coordonnées begin{eqnarray *} ~ [{bf u`}] _ b & = & left [begin{Array}{c} costheta sintheta end{Array}right] ~ [{bf v`}] _ b & = & left [ BEGIN {Array} {c}-sintheta costheta end{Array} right] end{eqnarray *} dans le système de coordonnées d`origine. C`est, de retour dans la base standard, $ $ [{bf v}] _ B = frac{13}{7}left [begin{Array}{c} 2 1 end{Array}droite] + frac{2}{7}left [begin{Array}{c} 1 4 end{Array}right] = left [begin{Array}{c} 4 3 end{Array}right], $ $ qui est d`accord avec le résultats de l`exemple précédent. Dans chaque application, nous avons le choix quant à la base que nous utilisons. Trouver la matrice de transition $P _ {B` leftarrow B} $ à partir de $B = left{left (1, 1, right), left (2,3 Right) right} $ à $B` = left{left (1, 2 droite), left (0,1 Right) right} $, et utilisez-le pour rechercher la matrice de coordonnées $B` $ pour le vecteur avec $B $ Coordinate Matrix $ begin{bmatrix} 7 -4 end{bmatrix}_B $.

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